📐地学㊵：三角関数（数学Ⅱ）
🎯この単元の目的
- 地震波や天体の運動など、地学現象の数学的記述に三角関数が使われる理由を理解する。
- 実際の振動・周期運動・波動現象を三角関数の式で表現できるようにする。
- 必要なときに三角関数の公式・変形・グラフを活用できるようにする。
🔁1. 地学と三角関数の関係
三角関数は、以下のような周期的な現象の表現に不可欠です：
| 地学分野 | 現象 | 三角関数の役割 |
|---|---|---|
| 地震学 | 地震波（P波・S波）の振動 | 波の伝播・振幅・周期の表現 |
| 天文学 | 惑星の公転・日周運動 | 時間と角度の関係式 |
| 気象学 | 日射量・風速の周期変化 | サインカーブによる近似 |
| 潮汐 | 月・太陽による海面変動 | 正弦波・余弦波でモデル化 |
🔑 「周期」「角度」「波動」に関する問題では、三角関数が常に登場！
📏2. 単位円と三角関数の基本
三角関数の定義を復習しましょう。
- 単位円における定義：
* 角θに対して
cosθ = x座標
sinθ = y座標
- 主な三角関数と周期性：
* sinθ, cosθ：周期 2π
* tanθ：周期 π
- 加法定理や変換公式：
* sin(α ± β), cos(α ± β)
* 2倍角・半角の公式も地学計算で有用！
✏️ 例：
P波の振動を「\(y(t) = A \sin(2\pi ft + φ)\)」で表す
（A：振幅、f：振動数、φ：初期位相）
🌊3. 波の式と三角関数
地震波や音波などの進行波は、次のように表されます：
▶️ 進行波の一般式：
\(y(x, t) = A \sin(2\pi ft - kx + φ)\)
- \(A\)：振幅
- \(f\)：周波数（Hz）
- \(k\)：波数（2π/λ）
- \(x\)：位置
- \(t\)：時間
- \(φ\)：位相
📌 地学的応用例：
- 地震計の記録（波形グラフ）→ 振幅・周期の測定
- 地震波速度の推定 → \(v = fλ\)
- 地震の到達時間（走時）と距離の関係にも応用
🌞4. 天文現象と三角関数
🌍 地球の自転と太陽の高度
- 太陽の南中高度（h）を三角関数で表現： $$\sin h = \sin\phi \sin\delta + \cos\phi \cos\delta \cos H$$
- \(\phi\)：観測地点の緯度
- \(\delta\)：太陽の赤緯
- \(H\)：時角（時間に応じて変化）
🧠 この式は、太陽の位置や日照時間の計算で頻出！
🧮5. よく使う三角関数の応用公式
| 用途 | 関連する三角関数の公式 |
|---|---|
| 地震波の波形解析 | \(y = A\sin(ωt + φ)\)（単振動） |
| 天体の高度角計算 | \(\sin h = \sin\phi \sin\delta + \cos\phi \cos\delta \cos H\) |
| 地表面での陰影や傾斜 | \(\tanθ = 高さ / 水平距離\) |
| 地震波の振幅比 | \(\tanθ = S波振幅 / P波振幅\) など |
| スネルの法則（地震波屈折） | \(\frac{\sinθ_1}{v_1} = \frac{\sinθ_2}{v_2}\) |
✅受験チェックポイント
📌 単振動の式とそのグラフ（振幅・周期・位相）
📌 地震波・天体運動などにおけるsin, cosの具体的な応用
📌 太陽の南中高度や日照時間の計算式
📌 スネルの法則と屈折角の計算
📌 単位円と三角関数の定義の復習
📖重要語句まとめ
- 単振動 / 振幅 / 周期 / 周波数
- sin波・cos波
- スネルの法則
- 南中高度の計算
- 位相 / 波長 / 波数
- 単位円・加法定理・2倍角の公式