地学㉘：恒星の性質②
～HR図と恒星の物理量～

この記事で探究すること

恒星の「明るさ」と「色（表面温度）」がわかると、何がわかるんだろう？ 実は、この２つの情報だけで、星の「大きさ（半径）」や「種類」、そして、その星が一生のどの段階にあるのかまで、驚くほど多くのことがわかってしまうんだ。この単元では、天文学で最も重要なグラフ「HR図」を読み解き、恒星の半径や質量といった、真の姿にせまっていくよ。

1. スペクトル型とHR図

恒星の色（表面温度）は、その光のスペクトルに見られる吸収線の種類によって、より細かく分類される。これを「スペクトル型」といい、高温の側から順に、O, B, A, F, G, K, M の記号で表される。（覚え方：「Oh, Be A Fine Girl/Guy, Kiss Me!」）

このスペクトル型（表面温度）を横軸に、絶対等級（真の明るさ）を縦軸にとって、多数の恒星をプロットしたグラフが「HR図（ヘルツシュプルング・ラッセル図）」だ。HR図上では、恒星はランダムに分布するのではなく、いくつかの特徴的なグループを形成する。

• 主系列星：HR図の左上から右下にかけての、最も密度の高い帯状の領域。恒星は、その一生の約9割を、この主系列星として過ごす。太陽も、G型の主系列星だ。
• 巨星・超巨星：HR図の右上に位置する、低温だが非常に明るい星々。
• 白色矮星：HR図の左下に位置する、高温だが非常に暗い、高密度の星々。

2. 恒星の放射エネルギーと半径

恒星の真の明るさ（光度 L）は、その星が単位時間に放出する、全エネルギー量で決まる。これは、シュテファン・ボルツマンの法則を用いて、星の半径 R と、表面温度 T から、計算することができる。

コレクトの数理的アプローチ：光度と半径の関係式

シュテファン・ボルツマンの法則によれば、単位面積あたりの放射エネルギーは \( \sigma T^4 \) でした。恒星は半径 R の球なので、その全表面積は \( 4\pi R^2 \) です。したがって、恒星全体の光度 L は、以下の式で表されます。

\[ L = 4\pi R^2 \sigma T^4 \]

この式は、恒星の物理量を結びつける、極めて重要な関係式です。例えば、HR図の右上に位置する赤色巨星が、なぜ表面温度が低い（Tが小さい）のに、非常に明るい（Lが大きい）のかを説明できます。それは、半径 R が、太陽の何百倍も巨大だからです。

【例題】ベテルギウスの半径

オリオン座のベテルギウスは、太陽と比べて、光度が14万倍（\(L_{Bet} = 1.4 \times 10^5 L_{Sun}\)）、表面温度が0.6倍（\(T_{Bet} = 0.6 T_{Sun}\)）である。ベテルギウスの半径は、太陽の何倍か？

【解答プロセス】
太陽についての式 \( L_{Sun} = 4\pi R_{Sun}^2 \sigma T_{Sun}^4 \) と、ベテルギウスについての式 \( L_{Bet} = 4\pi R_{Bet}^2 \sigma T_{Bet}^4 \) を立て、両者の比をとる。

\[ \frac{L_{Bet}}{L_{Sun}} = \frac{4\pi R_{Bet}^2 \sigma T_{Bet}^4}{4\pi R_{Sun}^2 \sigma T_{Sun}^4} = \left(\frac{R_{Bet}}{R_{Sun}}\right)^2 \left(\frac{T_{Bet}}{T_{Sun}}\right)^4 \]

数値を代入すると、

\[ 1.4 \times 10^5 = \left(\frac{R_{Bet}}{R_{Sun}}\right)^2 (0.6)^4 \]

\[ \left(\frac{R_{Bet}}{R_{Sun}}\right)^2 = \frac{1.4 \times 10^5}{(0.6)^4} \approx \frac{140000}{0.1296} \approx 1080000 \]

\[ \frac{R_{Bet}}{R_{Sun}} = \sqrt{1080000} \approx 1039 \]

答え：約1000倍（太陽の位置に置くと、火星の軌道をも飲み込む大きさ！）

3. 恒星の質量

恒星の物理量の中で、最も重要で、その運命を決定づけるのが「質量」だ。しかし、単独の星の質量を直接測ることは、非常にむずかしい。恒星の質量は、２つの星が互いのまわりを公転している「連星」の運動を観測することで、決定される。

【接続・物理】ケプラーの第3法則の一般化

ケプラーの第3法則は、ニュートンの万有引力の法則によって、連星系に一般化することができます。２つの恒星の質量を M₁ と M₂、公転周期を P、軌道の半長径を a とすると、以下の関係が成り立ちます。

\[ \frac{a^3}{P^2} = G(M_1 + M_2) \]

（Gは万有引力定数）
連星の軌道運動を観測し、周期Pと距離aを求めることができれば、この式から、２つの星の質量の合計を、物理的に算出することができるのです。さらに、スペクトル線のドップラー効果を観測することで、各々の星の速度がわかり、質量の比も決定できます。

受験対策まとめ

HR図は、恒星物理のすべてを凝縮した「周期表」だ！

1. スペクトル型の順番（O, B, A, F, G, K, M）と、それが表面温度の指標であることを覚える。
   O型が高温（青）、M型が低温（赤）だ。
2. HR図の「縦軸（絶対等級）」「横軸（表面温度/スペクトル型）」と、主要なグループ（主系列星、巨星、白色矮星）の配置を、自分で描けるようにする。
3. 恒星の光度、半径、温度の関係式（ \( L = 4\pi R^2 \sigma T^4 \) ）を理解し、比の計算に使えるようにする。
   「光度は半径の2乗と温度の4乗に比例する」と、言葉で覚えておこう。
4. 恒星の最も基本的な物理量である「質量」が、「連星」の観測によって決定されることを理解する。

練習問題

問１：恒星の表面温度を横軸に、絶対等級を縦軸にとって、恒星をプロットした図を何というか。
問２：恒星Aは、恒星Bと比べて、半径は3倍、表面温度は2倍であった。恒星Aの光度は、恒星Bの光度の何倍か。
問３【論述】：HR図の右上に位置する「赤色巨星」は、その名の通り、色が赤く（＝表面温度が低い）、しかし、非常に明るい（＝絶対等級が小さい）。この一見、矛盾した特徴は、赤色巨星がどのような物理的状態にあることを示しているか。シュテファン・ボルツマンの法則（\( L = 4\pi R^2 \sigma T^4 \))に言及しつつ、60字程度で説明しなさい。