地学㉗：恒星の性質①
～星の明るさと色を物理法則で読み解く～

この記事で探究すること

夜空にまたたく、無数の恒星たち。その明るさや色の違いは、星が持つ、どんな物理的な性質を反映しているんだろう？ この単言では、「等級」という星の明るさのものさしと、星までの「距離」の測り方、そして、星の色からその「表面温度」を知るための、２つの重要な物理法則について、数式を用いて、定量的に探究していくよ。宇宙を測る、壮大な物理学の始まりだ。

1. 星の明るさと等級

恒星の明るさは**「等級」**で表され、1等級の差は約2.512倍の明るさの比に、5等級の差はちょうど100倍の明るさの比に対応する、対数スケールである。

• 見かけの等級 (m)：地球から見たときの明るさ。
• 絶対等級 (M)：すべての恒星を、一律に10パーセクの距離に置いたと仮定したときの明るさ。星の真の明るさ（光度）を示す。

2. 恒星までの距離の測定：年周視差

比較的近くにある恒星までの距離は、地球の公転を利用した、三角測量の原理で測定できる。地球が公転軌道上の反対側の位置に移動したとき（半年後）、近くの恒星は、遠方の背景の星々に対して、わずかに位置がずれて見える。この見かけのずれの角度の半分を「年周視差 (p)」という。

コレクトの数理的アプローチ：距離と等級の関係

年周視差 p [秒] と、恒星までの距離 r [パーセク, pc] の間には、以下のシンプルな逆数関係があります。

\[ r = \frac{1}{p} \]

（1パーセク ≒ 3.26光年）

また、見かけの等級 m と絶対等級 M、そして距離 r [pc] の間には、以下の関係式（等級式）が成り立ちます。これは、光の強さが距離の2乗に反比例することから導かれます。

\[ m - M = 5 \log_{10} r - 5 \]

この式により、年周視差から求めた距離 r と、観測から得られる見かけの等級 m を使って、その星の真の明るさである絶対等級 M を、計算で求めることができるのです。

【例題】絶対等級の計算

ある恒星の年周視差が0.1秒、見かけの等級が3等であった。この恒星の絶対等級 M を求めなさい。（\( \log_{10} 10 = 1 \)）

【解答プロセス】
① まず、年周視差 p から、距離 r を求める。
\( r = 1/p = 1/0.1 = 10 \) [pc]
② 等級式に、m=3, r=10 を代入して M を求める。
\( 3 - M = 5 \log_{10} 10 - 5 \)
\( 3 - M = 5 \times 1 - 5 = 0 \)
したがって、\( M = 3 \)
答え：3等

3. 恒星の色と表面温度

恒星の色は、その表面温度を、きわめて正確に反映している。この関係性は、物理学の２つの基本法則によって、定量的に記述される。

コレクトの論理 de 解説：２つの放射法則

恒星を、理想的な放射体である「黒体」と仮定すると、以下の法則が成り立ちます。

① ウィーンの変位則：黒体が放射するエネルギーが最大となる波長（\( \lambda_{max} \))は、その表面温度 (T) に反比例する。

\[ \lambda_{max} = \frac{b}{T} \quad (b \text{ は定数}) \]

これにより、高温の星ほど、エネルギーが強い青い光を多く放ち、低温の星ほど、エネルギーが弱い赤い光を多く放つことが、物理的に説明されます。

② シュテファン・ボルツマンの法則：黒体の単位面積から、単位時間に放射されるエネルギーの総量 (E) は、その表面温度 (T) の４乗に比例する。

\[ E = \sigma T^4 \quad (\sigma \text{ は定数}) \]

これは、温度が少し上がるだけで、星が放出するエネルギーは、爆発的に増大することを示しています。

受験対策まとめ

恒星の物理は、公式の意味を理解し、使いこなすことが全てだ！

1. 「年周視差(p)」と「距離(r)」の関係式（ \( r = 1/p \) ）を完璧にマスターする。
   単位が「秒」と「パーセク」であることに注意！
2. 等級式（ \( m - M = 5 \log_{10} r - 5 \) ）は、見かけの等級(m)、絶対等級(M)、距離(r)のうち、２つが分かれば、残りの１つが求まる、魔法の式だと理解する。
3. ウィーンの変位則は、「温度が高いほど、波長は短く（青く）なる」という反比例の関係を押さえる。
4. シュテファン・ボルツマンの法則は、「エネルギーは、温度の４乗に比例する」という、強烈な関係性を覚える。
   温度が2倍になれば、エネルギーは16倍になる、という計算は頻出。

練習問題

【計算問題】
問１：ある恒星までの距離が50パーセクであった。この恒星の年周視差は何秒か。
問２：太陽の表面温度は約6000Kである。もし、太陽と全く同じ大きさで、表面温度が12000Kの恒星があったとすると、その星が単位時間・単位面積あたりに放出するエネルギーは、太陽の何倍になるか。

【論述問題】
問３：恒星Aと恒星Bは、見かけの等級が全く同じであった。しかし、年周視差を測定したところ、恒星Aの方が、恒星Bよりも大きかった。２つの星の真の明るさ（絶対等級または光度）を比較すると、どちらが、どのくらい明るいと言えるか。理由とともに説明しなさい。