地学①：固体地球としての地球の概観①
～重力から探る地球の内側～

この記事で探究すること

地球が、赤道方向に少しふくらんだ「回転楕円体」であることは、「地学基礎」で学んだね。でも、もっと精密に見ると、地球の形は、地下の物質の重さの違いによって、わずかにデコボコしているんだ。この単元では、「重力」という、目に見えない力を精密に測定することで、地球の真の形「ジオイド」や、地下に隠された構造を、いかにして暴き出すのか、その物理学的な探査のプロセスを探究していくよ。

1. 地球の形：ジオイドと地球楕円体

地球の形状を表す概念には、以下の２つがある。

• 地球楕円体：地球の形状に最も近い、数学的に滑らかな回転楕円体。測量や、GPSなどの位置情報の基準となっている。
• ジオイド：平均海水面を、仮に陸地の下まで延長したと仮定したときにできる面。これは、重力ポテンシャルが等しい面（等ポテンシャル面）であり、「真の地球の形」ともいえる。地下の物質の密度分布が不均一であるため、ジオイドは地球楕円体に対して、最大で100m程度の凹凸（ジオイドの起伏）を持つ。

2. 地球の重力と重力測定

地表の物体にはたらく重力は、地球の中心に向かう**万有引力**と、地球の自転による**遠心力**の合力である。遠心力は、赤道で最大、極でゼロとなるため、重力の大きさは、高緯度ほど大きく、低緯度ほど小さくなる。

コレクトの数理的アプローチ：標準重力

地球内部の密度が一様な回転楕円体であると仮定した場合、緯度 \( \phi \) における理論的な重力の値 \( \gamma_0 \) を**標準重力**といい、以下の式で近似されます。

\[ \gamma_0 \approx 9.780327 (1 + 0.0053024 \sin^2\phi - 0.0000058 \sin^2 2\phi) \quad [\text{m/s}^2] \]

この式は、重力が緯度（\( \phi \)）の関数であり、赤道（\( \phi=0^\circ \)）で最小、極（\( \phi=90^\circ \)）で最大となることを、定量的に示しています。

3. 重力異常と重力補正

地表で実際に測定された重力（実測重力）と、その地点の標準重力との差を「重力異常」という。しかし、この差には、地下の密度構造だけでなく、測定点の「標高」や「地形」の影響が含まれてしまっている。そこで、これらの影響を取り除き、地下構造だけを純粋に反映した重力異常を求めるために、いくつかの「補正」を行う。

コレクトの論理 de 解説：３つの重力補正

1. フリーエア補正：測定点が、基準となるジオイド面よりも標高 h [m] だけ高い位置にあることによる、万有引力の減少分を補正する。測定点をジオイド面の高さまで引き下ろすイメージ。補正量は、\( \Delta g_F = +0.3086h \) [mGal]。
2. ブーゲー補正：フリーエア補正では無視した、測定点とジオイド面の間の、厚さ h [m]、密度 ρ [g/cm³] の岩盤（ブーゲー円盤）が及ぼす引力を、取り除くための補正。補正量は、\( \Delta g_B = -0.0419\rho h \) [mGal]。
3. 地形補正：ブーゲー補正では、測定点のまわりの地形を平坦だと仮定したが、実際には山や谷がある。この凹凸の影響を取り除く補正。補正量は、常に正となる。

これらの補正を行った後の重力異常を**「ブーゲー異常」**とよび、これが地下の密度構造を最もよく反映していると考えられる。
ブーゲー異常 = (実測重力 - 標準重力) + フリーエア補正 + ブーゲー補正 + 地形補正

【例題】重力異常の計算

ある山の山頂（標高2000m）で重力を測定した。この地点の標準重力は9.79000 m/s²、実測重力は9.78212 m/s² であった。地殻の密度を2.7 g/cm³とし、地形補正は無視できるものとして、ブーゲー異常を求めなさい。（1 mGal = 10⁻⁵ m/s²）

【解答プロセス】
① 各値をmGalに変換する。
標準重力 = 979000 mGal, 実測重力 = 978212 mGal
② フリーエア補正量を計算する。
\( \Delta g_F = 0.3086 \times 2000 = 617.2 \) [mGal]
③ ブーゲー補正量を計算する。
\( \Delta g_B = -0.0419 \times 2.7 \times 2000 = -226.26 \) [mGal]
④ ブーゲー異常を計算する。
ブーゲー異常 = (978212 - 979000) + 617.2 + (-226.26) = -788 + 617.2 - 226.26 = -397.06 [mGal]
答え：約 -397 mGal

受験対策まとめ

重力は、計算問題と論述問題の両方で問われる可能性のある重要テーマだ！

1. ジオイドと地球楕円体の違いを説明できるようにする。
   ジオイドは「重力」、楕円体は「数学的形状」というキーワードで区別しよう。
2. 重力補正の「目的」と「物理的意味」を理解する。
   フリーエア補正は「高さの影響」、ブーゲー補正は「測定点と基準面の間の岩盤の引力」を補正していることを、図でイメージできるように。
3. ブーゲー異常の正負が、地下の密度構造とどう対応するかを理解する。
   「ブーゲー異常が正＝地下に高密度物質」「ブーゲー異常が負＝地下に低密度物質」という関係は絶対！

練習問題

【知識・計算問題】
問１：平均海水面を仮想的に陸地の下まで延長した、重力ポテンシャルが等しい面を何というか。
問２：標高1000mの地点における、フリーエア補正量と、地殻密度を2.7 g/cm³とした場合のブーゲー補正量を、それぞれ求めなさい。

【論述問題】
問３：巨大な山脈の上では、その巨大な質量にもかかわらず、ブーゲー異常が大きな負の値を示すことが多い。この事実は、山脈の地下がどのような構造になっていることを示唆しているか。「アイソスタシー」という語句を用いて、60字程度で説明しなさい。