地学㉔：地球と惑星の運動

この記事で探究すること

「１日は24時間」「１年は365日」。わたしたちの生活の基本である「暦」は、天体の動きと、どう関係しているんだろう？ そして、夜空をさまようように動く「惑星」たちの、一見複雑な動きの裏には、どんな美しい法則が隠されているんだろう？ この単元では、地球の自転・公転から、ケプラーが見抜いた惑星運動の法則まで、天体の動きを支配する、宇宙の「ルール」を、数式を用いて解き明かしていくよ。

1. 地球の自転と公転

地球の運動は、日周運動や年周運動といった、天体の見かけの動きの根源となっている。

• 地球の自転：地軸を軸に、西から東へ、１日１回転する運動。恒星を基準にすると、１回転にかかる時間は約23時間56分4秒（恒星日）。太陽を基準にすると、地球が公転する分だけ余分に回る必要があるため、約24時間（太陽日）となる。
• 地球の公転：太陽のまわりを、１年かけて１周する運動。公転の向きも、西から東。公転軌道面に対して、地軸は約23.4°傾いている。この傾きが、季節変化を生み出す主な原因だ。

2. 惑星の視運動と会合周期

地球も惑星も、太陽のまわりを公転しているため、地球から見た惑星は、星座の間を、複雑に動いて見える（視運動）。特に、地球が内惑星を追い抜いたり、外惑星に追い抜かれたりする際に、惑星が天球上を逆戻りするように見える「逆行」という現象が起こる。

地球から見て、ある惑星が、再び太陽と同じ方向にくるまでの周期を「会合周期」という。惑星の公転周期と会合周期の間には、重要な関係式が成り立つ。

コレクトの数理的アプローチ：会合周期の公式

地球の公転周期を E [年]、ある惑星の公転周期を P [年]、その惑星との会合周期を S [年]とします。天体の速さは、周期の逆数に比例すると考えられます。

【内惑星の場合（P < E）】
1年あたりに、内惑星が地球に対してどれだけ「追いつく」かの差は、\( (1/P - 1/E) \) と表せます。会合周期Sでちょうど１周差（360°）をつけるので、

\[ \frac{1}{S} = \frac{1}{P} - \frac{1}{E} \]

【外惑星の場合（P > E）】
1年あたりに、地球が外惑星に対してどれだけ「追いつく」かの差は、\( (1/E - 1/P) \) と表せます。

\[ \frac{1}{S} = \frac{1}{E} - \frac{1}{P} \]

【例題】火星の公転周期

火星との会合周期が約2.2年であることがわかっている。地球の公転周期を1.0年として、火星の公転周期 P を求めなさい。

【解答プロセス】
火星は外惑星なので、公式 \( 1/S = 1/E - 1/P \) を使う。
\( S = 2.2 \)、\( E = 1.0 \) を代入すると、

\[ \frac{1}{2.2} = \frac{1}{1.0} - \frac{1}{P} \]

\[ \frac{1}{P} = 1 - \frac{1}{2.2} = \frac{2.2 - 1}{2.2} = \frac{1.2}{2.2} = \frac{6}{11} \]

したがって、\( P = 11/6 \approx 1.83 \) [年]
答え：約1.8年

3. ケプラーの法則

惑星の軌道運動は、17世紀初頭に、ケプラーによって、以下の３つの法則としてまとめられた。これは、天体の運動に関する、人類初の物理法則である。

• 第1法則（楕円軌道の法則）：惑星は、太陽を一つの焦点とする、楕円軌道上を運動する。
• 第2法則（面積速度一定の法則）：惑星と太陽とを結ぶ線分が、単位時間に掃過する面積（面積速度）は、常に一定である。→ これは、惑星が太陽に近い（近日点）ときほど速く、遠い（遠日点）ときほど遅く運動することを意味する。
• 第3法則（調和の法則）：惑星の公転周期(P)の2乗は、軌道の半長径(a)の3乗に比例する。

コレクトの数理的アプローチ：ケプラーの第3法則

ケプラーの第3法則は、以下の数式で表されます。

\[ \frac{P^2}{a^3} = k \quad (\text{一定}) \]

公転周期 P の単位を [年]、軌道半長径 a の単位を [天文単位, au] （太陽から地球までの平均距離）とすると、地球では P=1, a=1 なので、k=1 となります。したがって、太陽系のどの惑星についても、

\[ P^2 = a^3 \]

という、極めてシンプルな関係式が成り立ちます。これにより、公転周期がわかれば、その惑星の太陽からの平均距離を、逆に、平均距離がわかれば、公転周期を、正確に計算することができるのです。

受験対策まとめ

天体の運動は、数式アレルギーを克服すれば、確実に得点源になる！

1. 恒星日と太陽日の違いを、地球の自転と公転の図で説明できるようにする。
   太陽日は、公転する分だけ、恒星日より約4分長い。
2. 会合周期の公式を、内惑星と外惑星で区別して、正しく使えるようにする。
   1年あたりの「角度の差」を考えるのが本質。（内惑星：1/S = 1/P - 1/E、外惑星：1/S = 1/E - 1/P）
3. ケプラーの法則を、３つとも正確に説明できるようにする。
   第1法則（楕円軌道）、第2法則（面積速度一定→近日点で速い）、第3法則（\( P^2 = a^3 \))、それぞれの法則が、惑星の運動の「何を」記述しているのかを明確に。
4. ケプラーの第3法則（ \( P^2 = a^3 \) ）を用いた計算問題は、絶対にマスターする。
   単位が「年」と「天文単位」であることに注意。

練習問題

【計算問題】
問１：ある小惑星の軌道半長径が 4 au であることがわかった。この小惑星の公転周期は何年か。
問２：金星の公転周期は約0.6年である。地球から見た金星の会合周期は何年か。小数第2位を四捨五入して答えなさい。

【論述問題】
問３：ある彗星が、非常に細長い楕円軌道で太陽のまわりを公転している。ケプラーの第2法則に基づくと、この彗星の速さは、その軌道上のどの位置で最大となり、どの位置で最小となるか。理由とともに説明しなさい。